4広島大学 2006年 数学 第4問解答・解説

$R=|r_1-r_2|$, $W=|w_1-w_2|$ とおく。四角形 $A$ は長方形なので面積は $RW$。 各袋から選ぶ組は $\displaystyle \binom n2$ 通りあり、どれも同様に確からしい。 差が $k$ となる組は $$\{1,1+k\},\{2,2+k\},\ldots,\{n-k,n\}$$ の $n-k$ 通りである。よって $$\displaystyle \Pr(R=k)=\Pr(W=k)=\frac{n-k}{\binom n2}\quad(1\le k\le n-1).$$ 赤い袋と白い袋の取り出し方は独立である。

(1) $RW=4$ となる組は $(R,W)=(1,4),(2,2),(4,1)$ のみ。 $n>4$ なので、これらはいずれも可能である。求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{2(n-1)(n-4)+(n-2)^2}{\binom n2^2} =\frac{4(3n^2-14n+12)}{n^2(n-1)^2}}.$$ ここで $\displaystyle \binom n2^2$ は $\displaystyle \left(\binom n2\right)^2$ を表す。

(2) 和の公式から $$\displaystyle \begin{aligned} E[R]&=\frac{\sum\limits _{k=1}^{n-1}k(n-k)}{\binom n2}\\ &=\frac{n\cdot\frac{n(n-1)}2-\frac{(n-1)n(2n-1)}6}{\frac{n(n-1)}2} =\boxed{\frac{n+1}{3}}. \end{aligned}$$

(3) 独立性を使う理由を和で確かめると $$\displaystyle \begin{aligned} E[RW]&=\sum\limits _{k=1}^{n-1}\sum\limits _{l=1}^{n-1}kl\Pr(R=k)\Pr(W=l)\\ &=\left(\sum\limits _{k=1}^{n-1}k\Pr(R=k)\right) \left(\sum\limits _{l=1}^{n-1}l\Pr(W=l)\right) =\left(\frac{n+1}{3}\right)^2. \end{aligned}$$ したがって $n=7$ のとき、面積の期待値は $\boxed{64/9}$ である。