13千葉大学 2005年 数学 第13問解答・解説

$\text{[ア](2)}\;S=X+Y+Z$ は取り出した3枚に含まれる数字1の枚数である。無作為に順序を付けた3回の取り出しを考え、j回目が1である指示変数を $I_j$ とする。このとき $E[I_j]=8/12=2/3$ なので $E[S]=3\cdot2/3=2$。また $$\displaystyle \operatorname{Var}(I_j)=\frac{2}{3}\frac{1}{3}=\frac{2}{9},\qquad \operatorname{Cov}(I_i,I_j)=P(I_i=I_j=1)-E[I_i]E[I_j] =\frac{8}{12}\frac{7}{11}-\frac{4}{9}=-\frac{2}{99}\quad(i\ne j).$$ したがって $$\displaystyle V(S)=3\cdot\frac{2}{9}+2\binom{3}{2}\left(-\frac{2}{99}\right)=\frac{2}{3}-\frac{12}{99}=\frac{6}{11}.$$

$\text{[ア](3)}$ $Y=0$ は、0のカードが少なくとも2枚選ばれたことを表す。そのうち $Z=1$ となるのは0を2枚、1を1枚選んだ場合である。よって $$\displaystyle P(Z=1\mid Y=0)=\frac{\binom{4}{2}\binom{8}{1}}{\binom{4}{2}\binom{8}{1}+\binom{4}{3}}=\frac{48}{48+4}=\frac{12}{13}.$$

$\text{[イ](1)}$ A点ではまず $x=a,\ y=0$ である。$x=1$ なら終了し、そうでなければ $x$ が奇数のとき $x$ を1増やし、偶数のとき $x$ を2で割った後、$y$ を1増やして A に戻る。この更新を逐次行うと $$\begin{array}{c|l} a&(x,y)\text{（A点での値）}\\\hline 5&(5,0),(6,1),(3,2),(4,3),(2,4),(1,5)\\ 6&(6,0),(3,1),(4,2),(2,3),(1,4)\\ 7&(7,0),(8,1),(4,2),(2,3),(1,4)\\ 8&(8,0),(4,1),(2,2),(1,3) \end{array}$$

$\text{[イ](2)}$ $a=9$ のとき、A点の $x$ は順に $9,10,5,6,3,4,2,1$ である。これらを2進法で表すと $$1001_2,\ 1010_2,\ 101_2,\ 110_2,\ 11_2,\ 100_2,\ 10_2,\ 1_2.$$

$\text{[イ](3)}$ $x=2^j+1\;(j\ge2)$ からは、奇数の更新で $x=2^j+2$ となり、次の偶数の更新で $x=2^{j-1}+1$ となる。この2回の更新で $y$ は2増え、指数が1減る。これを $j=k,k-1,\ldots,2$ まで行うと $x=3$、$y=2(k-1)$ となる。最後に $3\to4\to2\to1$ と3回更新するので、終了時 $$y=2(k-1)+3=2k+1.$$

$\text{[ウ](1)}$ $|\alpha|=1$ より $\overline\alpha\alpha=1$、従って $1/\alpha=\overline\alpha$ である。$z$ が0と $\alpha$ を通る直線上にあることから $z=t\alpha\;(t\text{ は実数})$ と書ける。除外点 $\alpha/2$ に対応して $t\ne1/2$ であり、 $$\displaystyle w=\frac{\overline\alpha(t\alpha)-2}{2t\alpha-\alpha} =\frac{t-2}{2t-1}\,\overline\alpha.$$ 係数 $(t-2)/(2t-1)$ は実数なので、$w$ は原点と $\overline\alpha$ を通る直線上にある。

$\text{[ウ](2)}$ $w(2z-\alpha)=\overline\alpha z-2$ より $$\displaystyle z=\frac{\alpha w-2}{2w-\overline\alpha}.$$ 分母が0なら $w=\overline\alpha/2$ となり、この値は有限の $z$ からは得られない。その他では、$|\alpha|=1$ を使って $$|z|>1\text{ の必要十分条件は }|\alpha w-2|>|2w-\overline\alpha|.$$ 両辺を2乗すると $$|\alpha w-2|^2=|w|^2+4-4\operatorname{Re}(\alpha w),\qquad |2w-\overline\alpha|^2=4|w|^2+1-4\operatorname{Re}(\alpha w),$$ したがって不等式は $|w|^2<1$ と同値である。よって像は中心0、半径1の円の内部から点 $\overline\alpha/2$ を除いた領域である。