7千葉大学 2005年 数学 第7問解答・解説

数学補完・採用レビュー：MM-5b37e7b543d8-Q7

独立数学解説

(1) 領域 $$U=-y^2-2xy+y+x^4-2x^3-3x^2+4x+1,\quad V=-2x^2+2x+1$$ とおく。底10の対数は定義域で単調増加なので、原不等式は $V>0$ かつ $U-V\ge0$ と同値である（この二条件なら $U\ge V>0$ も成立する）。差は $$U-V=x^4-2x^3-x^2+2x-y^2-2xy+y =(x^2-2x-y)(x^2+y-1).$$ また $V>0$ を解くと $$\displaystyle \frac{1-\sqrt3}{2}<x<\frac{1+\sqrt3}{2}.$$ この範囲では $V=(1-x^2)-(x^2-2x)>0$ だから、積が非負となる条件は $$\displaystyle \boxed{x^2-2x\le y\le1-x^2},\qquad \boxed{\frac{1-\sqrt3}{2}<x<\frac{1+\sqrt3}{2}}.$$ すなわち二つの放物線の間で、両端の垂直線は含まない。

(2) $x+y$ の最大値・最小値 領域の上端では $\displaystyle x+y\le1+x-x^2=\frac54-(x-\frac12)^2\le\frac54$。等号は $\displaystyle x=\frac12,y=\frac34$ で成立する。 下端では $\displaystyle x+y\ge x^2-x=(x-\frac12)^2-\frac14\ge-\frac14$。等号は $\displaystyle x=\frac12,y=-\frac34$ で成立する。いずれの点でも $V=3/2>0$ で、境界曲線上では $U=V$ だから原対数不等式を満たす。したがって $$\displaystyle \boxed{\max(x+y)=\frac54},\qquad \boxed{\min(x+y)=-\frac14}.$$

単元・方法・テーマ 単元：数学II「対数関数」「二次関数」。方法：対数の単調性と定義域、因数分解、二次不等式、平方完成による最大最小。テーマ：対数不等式の領域と線形目的式の極値。