2秋田大学 2007年 数学 第2問解答・解説

対数の定義域から $x>0,\ y>0$。第一の不等式は底2の対数の単調性により $$2\log_2x-\log_2y\le0\quad\text{と同値な条件は}\quad x^2\le y.$$ 第二は $y\le4-|x-2|$。$0<x\le2$ では上端が $x+2$ で、$x^2\le x+2$ と同値な条件 $(x-2)(x+1)\le0$ は満たされる。$x\ge2$ では上端が $6-x$ となり、$x^2\le6-x$ と同値な条件 $(x-2)(x+3)\le0$ より $x=2$ のみ可能。したがって $$D=\{(x,y):0<x\le2,\ x^2\le y\le x+2\}.$$ 図示すると、$0<x\le2$ の範囲で放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ に挟まれる部分である。$x=0$ の辺は定義域外なので含めず、両曲線の交点 $(2,4)$ は含む。

(ii) $y\ge x^2$ から $$\displaystyle -\frac{x}{2}+y\ge x^2-\frac{x}{2} =(x-\tfrac14)^2-\frac1{16}\ge-\frac1{16}.$$ 点 $(1/4,1/16)$ はDに属するので最小値は $-1/16$。

最大化する式は $x^2+y^2-y$。固定したxについて $y^2-y$ は下に凸だから、区間 $x^2\le y\le x+2$ での最大は端点で起こる。両端の値は $$y=x^2:\ x^4,\qquad y=x+2:\ 2x^2+3x+2.$$ 差は $(2-x)(x+1)(x^2+x+1)\ge0$ なので後者が大きい。$2x^2+3x+2$ は $0<x\le2$ で増加し、最大は $x=2,y=4$、値16。

(iii) 直線上 $y=4-2x$。Dの条件は $x^2\le4-2x$ および $4-2x\le x+2$ だから $2/3\le x\le\sqrt5-1$。直線上で $2x+y=4$ より $4^x2^y=2^{2x+y}=16$。従って $$4^x+2^y\ge2\sqrt{4^x2^y}=8.$$ 等号条件 $4^x=2^y$ は $2x=y$ と同値である。この条件と $2x+y=4$ から $(x,y)=(1,2)$。この点はDに属するため最小値8。