1秋田大学 2007年 数学 第1問解答・解説

（i）$t(t+1)(t+2)=t^3+3t^2+2t$ より、$$\begin{aligned} &x(x+1)(x+2)-y(y+1)(y+2)+xy(x-y)\\ &=(x-y)\{x^2+xy+y^2+3(x+y)+2+xy\}\\ &=(x-y)\{(x+y)^2+3(x+y)+2\}\\ &=(x-y)(x+y+1)(x+y+2). \end{aligned}$$ したがって、求める因数分解は$\boxed{(x-y)(x+y+1)(x+y+2)}$である。

（ii）$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$、$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ である。したがって、剰余条件から$f(1)=2$、$f(3)=4$、$f(2)=5$を得る。求める剰余を$r(x)=ax^2+bx+c$（$\deg r<3$）とすると、$$r(1)=2,\quad r(2)=5,\quad r(3)=4,$$ すなわち$$a+b+c=2,\quad 4a+2b+c=5,\quad 9a+3b+c=4.$$ 差をとると$3a+b=3$、$5a+b=-1$なので、$a=-2$、$b=9$、さらに$c=-5$である。よって求める余りは$\boxed{-2x^2+9x-5}$である。