3大阪大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) $a_k<a_{k+1}$ で $a_k\to\infty$ だから、相異なる値を無限個とる。もし $f$ が零多項式でなければ、次数を $d$ とする。因数定理を繰り返し用いると、相異なる根の個数は高々 $d$ 個である。しかし $f(a_k)=0$ がすべての $k$ で成り立つので、根が無限個となる。矛盾である。従って $f$ は零多項式である。

(2) $F(x)=0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。 まず $x=n\pi$（$n=1,2,\ldots$）とすると $\sin x=\sin2x=0$ だから $f_1(n\pi)=0$ である。$(n+1)\pi>n\pi$ かつ $n\pi\to\infty$ なので、(1)より $f_1$ は零多項式である。

次に $\displaystyle x=n\pi+\frac\pi2$ とすると、$\sin x=(-1)^n$、$\sin2x=0$ であり、既に $f_1=0$ なので $$\displaystyle (-1)^n f_2\left(n\pi+\frac\pi2\right)=0.$$ 従って $f_2$ は無限個の相異なる値 $\displaystyle n\pi+\frac\pi2$ を根にもつ。(1)より $f_2$ も零多項式である。

最後に $\displaystyle x=n\pi+\frac\pi4$ とする。このとき $\sin2x=1$ であり、$f_1=f_2=0$ だから $$\displaystyle f_3\left(n\pi+\frac\pi4\right)=0\qquad(n=1,2,\ldots).$$ 再び (1) より $f_3$ は零多項式である。