1大阪大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $z_1=w=w^{1^2}$ であり、$z_n=w^{n^2}$ と仮定すると $$z_{n+1}=z_nw^{2n+1}=w^{n^2+2n+1}=w^{(n+1)^2}.$$ よって帰納法により、すべての $n\geq1$ で $z_n=w^{n^2}$ である。したがって $$z_n=a^{n^2}\{\cos((5n^2)^\circ)+i\sin((5n^2)^\circ)\}.$$ $a>0$ なので、$z_n$ が実数であることは $5n^2$ が $180^\circ$ の整数倍であることと同値である。これは $36\mid n^2$、すなわち $2^2\cdot3^2\mid n^2$ と同値であり、$2\mid n$ かつ $3\mid n$、つまり $6\mid n$ と同値である。

(2) 点 $P_n$ の原点からの距離と偏角は $$OP_n=a^{n^2},\qquad \arg z_n=(5n^2)^\circ.$$ よって三角形の頂点 $O$ における角は $$\angle P_nOP_{n+1}=5\{(n+1)^2-n^2\}^\circ=5(2n+1)^\circ.$$ $1\leq n\leq17$ ではこの角は $15^\circ$ から $175^\circ$ の範囲にある。

直角二等辺三角形の直角が $O$ にある場合、この角は $90^\circ$ でなければならない。しかし $5(2n+1)=90$ は整数 $n$ を与えない。

直角が $P_n$ にある場合、直角二等辺三角形の $O$ の角は $45^\circ$ だから、$5(2n+1)=45$、すなわち $n=4$。このとき斜辺は $OP_{n+1}$、等しい直角辺の一つは $OP_n$ なので $$OP_{n+1}=\sqrt2\,OP_n,\qquad a^{(n+1)^2}=\sqrt2\,a^{n^2}.$$ 従って $a^9=\sqrt2$、よって $a=2^{1/18}$。

直角が $P_{n+1}$ にある場合も $O$ の角が $45^\circ$ なので $n=4$。斜辺は $OP_n$、等しい直角辺の一つは $OP_{n+1}$ であるから $$OP_n=\sqrt2\,OP_{n+1},\qquad a^{n^2}=\sqrt2\,a^{(n+1)^2}.$$ 従って $a^{-9}=\sqrt2$、よって $a=2^{-1/18}$。

以上より $$\boxed{n=4,\qquad a=2^{1/18}\ \text{または}\ 2^{-1/18}}.$$