2大阪大学 2003年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle \text{(1)}\quad F(t)=\log t-\frac{2(t-1)}{t+1}\quad(t>0)\text{ とおく。}$

$\displaystyle F'(t)=\frac1t-\frac4{(t+1)^2}=\frac{(1-t)^2}{t(t+1)^2}>0\quad(0<t<1)$ であるから、F は $0<t\le1$ で増加する。$F(1)=0\text{ より }0<t<1\text{ では }F(t)<0$ である。したがって

$\displaystyle \log t<\frac{2(t-1)}{t+1}=-\frac{2(1-t)}{1+t},\quad\text{すなわち}\quad\frac{\log t}{2}< -\frac{1-t}{1+t}$

$\text{(2)}\quad u=ka>0\text{ とおく。 }y'=ke^{kx}\text{ より}$、P,Q における接線はそれぞれ

$y=ke^u x+(1-u)e^u,\qquad y=ke^{-u}x+(1+u)e^{-u}$ である。したがって交点の $x\text{ 座標}$は

$\displaystyle x=\frac{e^{-u}(1+u)-e^u(1-u)}{k(e^u-e^{-u})}$ と表される。ここで $t=e^{-2u}$ とおけば $0<t<1\text{ である}$。(1) より

$\displaystyle -u=\frac{\log t}{2}< -\frac{1-t}{1+t},\quad\text{ゆえに}\quad u(1+t)>1-t$ よって分子は

$e^{-u}(1+u)-e^u(1-u)=e^u\left\{u(1+t)-(1-t)\right\}>0$ また $k>0,\quad u>0\text{ より分母 }k(e^u-e^{-u})\text{ も正である。したがって }x>0\text{ である。}$