3熊本大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1)　 E上の点(a,b)では$\displaystyle a>0, b>0, \frac{a^2}{8}+b^2=1$であるから、$0<a<\sqrt{8}$かつ$\displaystyle b=\sqrt{1-\frac{a^2}{8}}$である。

楕円の上側を$\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{x^2}{8}}$と表すと、その導関数は$\displaystyle y'=-\frac{x}{8y}$である。したがって点$(a,b)$における接線は$\displaystyle y-b=-\frac{a}{8b}(x-a)$であり、$\displaystyle \frac{a^2}{8}+b^2=1$を用いて整理すると$\displaystyle \frac{a}{8}x+by=1$となる。この直線のx切片は$\displaystyle \frac{8}{a}$、y切片は$\displaystyle \frac{1}{b}$なので、$$\displaystyle f(a)=\frac{8}{a}+\frac{1}{b}=\frac{8}{a}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{a^2}{8}}}.$$

(2)　 定義域$0<a<\sqrt{8}$で微分すると$$\displaystyle f'(a)=-\frac{8}{a^2}+\frac{a}{8\left(1-\frac{a^2}{8}\right)^{3/2}}=-\frac{8}{a^2}+\frac{a}{8b^3}.$$分母$8a^2b^3$は正だから、$f'(a)$の符号は$a^3-64b^3$の符号と一致する。$a,b>0$より$a^3-64b^3$の符号は$a-4b$の符号と同じであり、$$\displaystyle a>4b\text{であるための必要十分条件は} a^2>16b^2=16\left(1-\frac{a^2}{8}\right)\text{、すなわち} a^2>\frac{16}{3}.$$よって$\displaystyle 0<a<\frac{4}{\sqrt{3}}$では$f'(a)<0$、$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}<a<\sqrt{8}$では$f'(a)>0$である。したがって$f(a)$は$\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{3}}$で最小となる。このとき$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$となり、$f(a)=3\sqrt{3}$であることも確認できる。