5広島大学 2002年 数学 第5問解答・解説

(1) $y=ax+2a$ を $a^2x^2+y^2=1$ に代入すると $$\displaystyle 2a^2\bigl((x+1)^2+1\bigr)=1, \qquad (x+1)^2=\frac1{2a^2}-1.$$ 異なる2点で交わる条件は右辺が正であること。$a>0$ より $$\displaystyle \boxed{0<a<\frac1{\sqrt2}}.$$

(2) $a^2x^2+y^2=1$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線は $$\boxed{a^2x_0x+y_0y=1}.$$

(3) $u=ax,\ v=y$ と変換すると楕円は単位円 $u^2+v^2=1$ になり、弦 $PQ$ は $v=u+2a$、すなわち $$\displaystyle -\frac{u}{2a}+\frac{v}{2a}=1$$ である。単位円上の点 $(u,v)$ における接線は $uU+vV=1$。弦上の両端点は上の式を満たすため、その2本の接線の交点は $(U,V)=(-1/(2a),1/(2a))$。元の座標に戻すと $$\displaystyle X=-\frac1{2a^2},\qquad Y=\frac1{2a}.$$ よって $X=-2Y^2$。$0<a<1/\sqrt2$ から $Y>1/\sqrt2$ である。