4広島大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(1) 上を $U$、下を $D$、左を $L$、右を $R$ とする。7文字のうち $U$ が2個、$R$ が3個で、$D,L$ が各1個だから、異なる並べ方は $$\displaystyle \frac{7!}{2!3!}=420$$ 通りである。

(2) 右、左、上、下をそれぞれ $r,l,u,d$ 回とすると、終点が $(2,1)$ となる条件は $$r-l=2,\qquad u-d=1,\qquad r+l+u+d=7.$$ $l=s,d=t$ とおけば $r=s+2,u=t+1$ なので $s+t=2$。したがって $(s,t)=(0,2),(1,1),(2,0)$ で、各場合の並べ方は $$\displaystyle \frac{7!}{2!3!2!}=210,\qquad \frac{7!}{3!1!2!1!}=420,\qquad \frac{7!}{4!2!1!}=105.$$ 有利な場合は $210+420+105=735$。各回4方向が同確率で、カードは戻すので、求める確率は $$\displaystyle \frac{735}{4^7}=\frac{735}{16384}.$$

(3) 5回後に $x$ 軸上にあるには、上と下の回数が等しい。各回数を $k$ とすると $k=0,1,2$ で、残りは左右に進む。よって該当する列は $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{2}\frac{5!}{k!k!(5-2k)!}2^{5-2k}=32+160+60=252$$ 通り。全 $4^5=1024$ 通りのうちの割合は $$\displaystyle \frac{252}{1024}=\frac{63}{256}.$$

(4) 1回の移動で $X-Y$ は、右または下なら1増え、左または上なら1減る。2回後に $X-Y=2,-2$ となる場合は各4通り、$X-Y=0$ は8通りで、全16通りは同様に確からしい。したがって $$\displaystyle E|X-Y|=\frac{4\cdot2+8\cdot0+4\cdot2}{16}=1.$$