4北海道大学 2003年 数学 第4問解答・解説

・ 8回の移動のうち正の向きに進む回数を $r$ とすると、$X(8)=r-(8-r)=2r-8$ である。$X(8)=2$ より $r=5$ だから、求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{8}{5}}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}$$ である。

・ 7回の移動のうち正の向きに進む回数を $r$ とすると、$X(7)=2r-7$ であり、これが起こる確率は $\displaystyle \binom{7}{r}/2^7$ である。したがって $$\displaystyle E(|X(7)|)=\frac{1}{2^7}\sum\limits _{r=0}^{7}\binom{7}{r}|2r-7|=\frac{2}{128}\left(\binom70\cdot7+\binom71\cdot5+\binom72\cdot3+\binom73\cdot1\right)=\frac{280}{128}=\frac{35}{16}.$$

・ 対称性により、6回目まで原点に戻らず正の側にいる経路数を数え、その2倍を全経路数で割る。最初の移動が正なら座標1から始まり、その後の5回も座標が正でなければならない。$b_k(j)$ を、座標1から始めて原点に戻らず正の側にとどまる $k$ 回の移動後に座標 $j$ にいる経路数とする。各経路の最後の移動に着目すると、$b_0(1)=1$、$b_k(0)=0$ および $b_{k+1}(j)=b_k(j-1)+b_k(j+1)$ である。これを順に数えると $$\begin{array}{c|l} k&j:b_k(j)\\\hline 0&1:1\\ 1&2:1\\ 2&1:1,\ 3:1\\ 3&2:2,\ 4:1\\ 4&1:2,\ 3:3,\ 5:1\\ 5&2:5,\ 4:4,\ 6:1 \end{array}$$ となり、正の側の経路数は $5+4+1=10$ 通りである。負の側も対称に10通りなので、求める確率は $$\displaystyle \frac{2\cdot10}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$$ である。