2岐阜大学 2007年 数学 第2問解答・解説

以下は、各回の試行が相互に独立し、各回に4枚のカードがそれぞれ確率$1/4$で選ばれるという追加モデルを仮定した条件付き解説である。この追加モデルの下では、4回の出方はすべて同様に確からしく、全部で$4^4=256$通りである。

$$\displaystyle \frac{40}{4^4}=\frac5{32}.$$

(2) カード $i$（$i=1,2,3,4$）について，そのカードが奇数回裏返されたとき $X_i=1$，偶数回のとき $X_i=0$ とする。カード $i$ が1回の試行で選ばれる確率は $\displaystyle \frac14$ である。4回のうち奇数回選ばれる確率は $$\displaystyle \Pr(X_i=1)=\binom41\left(\frac14\right)\left(\frac34\right)^3 +\binom43\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)=\frac{15}{32}.$$ 奇数回裏返されたカードだけ数字の面が上を向くので，上面の数字の和を $T$ とすれば $T=X_1+2X_2+3X_3+4X_4$。期待値の加法性から $$\displaystyle E[T]=E[X_1]+2E[X_2]+3E[X_3]+4E[X_4] =\frac{15}{32}(1+2+3+4)=\frac{75}{16}.$$