3岐阜大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$a\ne0$ なので $$\displaystyle f'(x)=3ax^2-3(a^2+1)x+3a=3a(x-a)\left(x-\frac1a\right).$$ 従って停留点は $x=a,1/a$ である。2点が一致するのは $a=1/a$、すなわち $a=\pm1$ のときで、この場合 $f'(x)=3a(x-a)^2$ は符号を変えないため極値をもたない。2点が異なると各点で $f'$ の符号が変わり、極大・極小を一つずつもつ。よって（1）は $a=\pm1$。

停留点での値は $$\displaystyle f(a)=\frac{a^2(3-a^2)}2,\qquad f\left(\frac1a\right)=\frac{3a^2-1}{2a^2}.$$ $0<a^2<1$ では $a$ が極大点、$1/a$ が極小点なので、求める符号条件は $f(1/a)<0$、つまり $a^2<1/3$。$a^2>1$ では順序が逆になり、極大値は $f(1/a)>0$、極小値は $f(a)<0$ が必要で、後者は $a^2>3$ と同値である。これらを合わせると（2）の範囲を得る。