愛媛大学 2002年数学第2問解答・解説

微分・積分の考え

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1問題

愛媛大学2002年度第2問

関数 $f(x)=ax^{3}+(7-a^{2})x^{2}+bx+c$ は， $x=-1$ で極小値を， $x=2$ で極大値をとり，極小値の絶対値の2倍が極大値に等しい。定数 $a,b,c$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(a,b,c)=(-2,12,-2)$ または (-2,12,34)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

導関数は指定二点で0。 $a=0$ では二点を根に持てないので、 $f'=3a(x+1)(x-2)$ 。係数比較で $\displaystyle a=\frac72$ または $-2$ を得て、符号変化から後者のみ条件を満たし $b=12$ 。極値は $c-7,c+20$ なので $2|c-7|=c+20$ を解くと $c=-2,34$ の双方。

既存A019の導関数因数分解、係数比較、極値符号判定と絶対値条件の二分を実質点検。 $f'=3a(x+1)(x-2)$ 、 $2a^2-3a-14=0$ 。 $\displaystyle a=\frac72$ は極値の向きが逆、 $a=-2$ で $b=12$ 。 $f(-1)=c-7,\ f(2)=c+20$ から $2|c-7|=c+20$ を場合分けし $c=-2$ または $34$ 。current authorは両候補の十分性まで示し旧結果と一致。

この問題で使う考え方

導関数の因数分解
増減表による極値判定
係数比較
絶対値の条件分け

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