6千葉大学 2008年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle I=\int_0^1 f(t)\,dt$ とおき、二次関数 $f(x)=Ax^2+Bx+C$ と表す。すると $$\displaystyle I=\frac A3+\frac B2+C,\qquad \int_0^x f(t)\,dt=\frac A3x^3+\frac B2x^2+Cx.$$ これを問題の恒等式へ代入し、両辺の $x$ の係数を比較すると $$\displaystyle A=\frac23+\frac A3,\qquad B=I+\frac B2,\qquad C=I+C.$$ よって $A=1,\ I=0,\ B=0$。さらに $I=A/3+B/2+C=0$ より $C=-1/3$。したがって $$\displaystyle f(x)=x^2-\frac13.$$ この式を元の条件に代入しても恒等式を満たすので、求める関数はこれである。

次に $g(x)=xf(x)=x^3-x/3$ とする。$x\geq0$ で $$\displaystyle g'(x)=3x^2-\frac13.$$ これは $0\leq x<1/3$ で負、$x>1/3$ で正だから、最小値は $x=1/3$ でとる。 $$\displaystyle g\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac19=-\frac2{27}.$$ したがって $\displaystyle \boxed{\min\limits _{x\geq0}xf(x)=-2/27}$。