千葉大学 2008年数学第11問解答・解説

数と式いろいろな式

このページには広告が含まれます。

1問題

千葉大学2008年度第11問

実数 a, b は 0 < a < b を満たし, x, y, z はいずれも a 以上かつ b 以下であるとする。このとき次を示せ。

(1) $x + y = a + b$ ならば, $xy \geq ab$ である。

(2) $x + y + z = a + 2b$ ならば, $xyz \geq ab^{2}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

仮定の和を利用して積の差を因数分解し、(2)では上端からの差を置いて非負項にまとめる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\begin{aligned} (1)\quad xy-ab&=(x-a)(y-a)\ge0,\\ (2)\quad u=b-x,\space{}v=b-y,\space{}w=b-z&\implies xyz-ab^2=uv(b-w)+bw(u+v)\ge0. \end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\begin{aligned} x+y=a+b &\text{より} xy-ab =xy-a(x+y)+a^2 =(x-a)(y-a)\ge0,\\[2pt] u=b-x,\ v=b-y,\ w=b-z &\text{より} u,v,w\ge0,\quad u+v+w=b-a,\quad b-w\ge a>0,\\ xyz-ab^2 &=(b-u)(b-v)(b-w)-ab^2\\ &=b(uv+vw+wu)-uvw\\ &=uv(b-w)+bw(u+v)\ge0. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

等式・不等式の証明

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。