2東北大学 2009年 数学 第2問解答・解説

（1）長方形Aでは、紙1枚の横幅は $L+1$ cmであり、隣り合う紙は $(L-1)$ 箇所でそれぞれ1 cm重なる。したがって、できる長方形の横幅は $$L(L+1)-(L-1)=L^2+1$$ cmである。高さは1 cmなので $$S_1=L^2+1.$$ 長方形Bでは、縦方向の長さは紙の高さの合計から重なりを引いて $$L-(L-1)a$$ cmとなる。横幅は $L+1$ cmだから $$S_2=(L+1)\{L-(L-1)a\}.$$

（2）$L=2$ のとき $$S_1-1=4,\qquad S_2=3(2-a).$$ よって $$\displaystyle S_1-1<S_2 \text{すなわち} 4<6-3a \text{すなわち} a<\frac23.$$ もともと $0<a<1$ なので、求める範囲は $\displaystyle 0<a<\frac23$ である。

（3）一般の $L\ge2$ では $$\displaystyle S_1-1<S_2 \text{すなわち} L^2<(L+1)\{L-(L-1)a\} \text{すなわち} a<\frac{L}{L^2-1},$$ ここで $L^2-1>0$ を用いた。また $$\displaystyle \frac23-\frac{L}{L^2-1} =\frac{2L^2-3L-2}{3(L^2-1)} =\frac{(2L+1)(L-2)}{3(L^2-1)}\ge0$$ である。したがって全ての $L\ge2$ について $\displaystyle \frac{L}{L^2-1}\le\frac23$ だから、ある $L$ で不等式が成り立つなら $\displaystyle a<\frac23$ である。逆に $\displaystyle 0<a<\frac23$ なら $L=2$ を選べば不等式が成り立つ。求める範囲は $$\displaystyle 0<a<\frac23.$$