11自治医科大学 2019年 数学 第11問解答・解説

$a=|x-3|,\ b=|y-2|$ とおく。条件は $2a+3b\leq6$ であり，$0\leq a\leq3,\ 0\leq b\leq2$ である。$|x|\leq3+a,\ |y|\leq2+b$，また $a^2\leq3a,\ b^2\leq2b$ より，$$\displaystyle x^2+y^2\leq(3+a)^2+(2+b)^2=13+6a+4b+a^2+b^2\leq13+9a+6b\leq13+\frac92(2a+3b)\leq40.$$$(x,y)=(6,2)$ は条件を満たし，このとき $x^2+y^2=40$ だから，最大値は $M=40$ である。

一方，$|x-3|\geq3-x,\ |y-2|\geq2-y$ であるから，$$6\geq2|x-3|+3|y-2|\geq2(3-x)+3(2-y)=12-2x-3y.$$よって領域内のすべての点で $2x+3y\geq6$ が成り立つ。$$13(x^2+y^2)-(2x+3y)^2=(3x-2y)^2\geq0$$より，$x^2+y^2\geq(2x+3y)^2/13\geq36/13$ である。$(x,y)=(12/13,18/13)$ では$$\displaystyle 2|x-3|+3|y-2|=2\cdot\frac{27}{13}+3\cdot\frac8{13}=6,\qquad x^2+y^2=\frac{36}{13}.$$したがって最小値は $m=36/13$。$M-13m=40-36=4$ なので，答えは $\text{ナ}$ である。