5自治医科大学 2019年 数学 第5問解答・解説

二つの解が $\sin\theta,\cos\theta$ であるから、解と係数の関係より$$\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac{35}{25}=\frac75,\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{2k}{25}.$$ 一方、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より、$$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta.$$ したがって$$\displaystyle \frac{49}{25}=1+2\sin\theta\cos\theta,\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{12}{25}.$$ これを積の関係と比べて $\displaystyle \frac{2k}{25}=\frac{12}{25}$ なので、$k=6$ である。確認として、$k=6$ のとき方程式は $(5x-3)(5x-4)=0$ と因数分解され、解は $\displaystyle \frac35,\frac45$ である。この二数は二乗和が1であり、$\theta$ を第1象限に取れば正弦と余弦になりうる。よって答えは6（選択肢マ）である。