10自治医科大学 2019年 数学 第10問解答・解説

$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $M$ とする。$AB=AC$ で、$AM$ は共通、$\angle AMB=\angle AMC=90^\circ$ だから、直角三角形 $ABM$ と $ACM$ は合同である。よって $$\displaystyle BM=MC=\frac{BC}{2}=8\sqrt2.$$ 三平方の定理から $$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{32^2+(8\sqrt2)^2}=24\sqrt2.$$ したがって三角形の面積 $S$ と半周長 $s$ は $$\displaystyle S=\frac12\cdot16\sqrt2\cdot32=256\sqrt2,\qquad s=\frac{24\sqrt2+24\sqrt2+16\sqrt2}{2}=32\sqrt2.$$ 内接円の中心から各辺までの距離は半径 $r$ であるため、三角形を3つに分けた面積の和は $\displaystyle S=\frac12 r(AB+BC+CA)=rs$ となる。よって $$\displaystyle r=\frac{S}{s}=\frac{256\sqrt2}{32\sqrt2}=8.$$ 答えは $8$（ラ）である。