14自治医科大学 2019年 数学 第14問解答・解説

回転後の点の座標は $$\displaystyle Q=(\cos2\theta,\sin2\theta),\qquad B=\left(\frac12+\cos\theta,\sin\theta\right)$$ である。ここで $B$ は，$A$ を中心に回転する前のベクトル $\overrightarrow{AR}=(1,0)$ を角 $\theta$ だけ回転し，中心 $A=(1/2,0)$ を加えて得られる。

$c=\cos\theta$ とおく。距離の二乗を展開し，$\cos2\theta=2c^2-1$ を用いると $$\displaystyle QB^2=\left(\frac12+\cos\theta-\cos2\theta\right)^2+(\sin\theta-\sin2\theta)^2=\frac94-c-\cos2\theta=\frac{13}{4}-c-2c^2.$$ したがって $$\displaystyle QB^2=-2\left(c+\frac14\right)^2+\frac{27}{8}\leq\frac{27}{8}.$$ $c=-1/4$ は $-1\leq c\leq1$ を満たし，正の角 $\theta$（例えば $\cos\theta=-1/4$ となる角）で実現できるので，等号が成立する。よって $M=\sqrt{27/8}=3\sqrt6/4$。

したがって $2\sqrt6M=2\sqrt6\cdot3\sqrt6/4=9$ であり，選択肢はワである。