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自治医科大学/2019年度/前期

自治医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

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1問題

自治医科大学2019年度第4問

複素数 zz は z+1z=2\displaystyle z+\frac{1}{z}=\sqrt{2} を満たしている。z10+1z10\displaystyle z^{10}+\frac{1}{z^{10}} の値を求めよ。選択肢:ア 00,カ 11,サ 22,タ 33,ナ 44,ハ 55,マ 66,ヤ 77,ラ 88,ワ 99。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

z≠0z\ne0 である。与式を二乗すると、z2+2+1z2=2\displaystyle z^2+2+\frac{1}{z^2}=2 となるから、z2+1z2=0.\displaystyle z^2+\frac{1}{z^2}=0. これに z2z^2 を掛けて z4+1=0z^4+1=0、すなわち z4=−1z^4=-1 を得るので、z8=1z^8=1 である。したがって z10=z2z^{10}=z^2、z−10=z−2z^{-10}=z^{-2} となり、z10+1z10=z2+1z2=0.\displaystyle z^{10}+\frac{1}{z^{10}}=z^2+\frac{1}{z^2}=0. よって求める値は0であり、選択肢はアである。

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