自治医科大学／前期
2019年度の数学自治医科大学・全21問
- 1A=x³-2y²x+4y³ ， B=x+2y を x についての整式とみて， A を B で割った余りを求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 ，タ 3 ，ナ 4 ，ハ 5 ，マ 6 ，ヤ…
- 2+ + =5, + + =17/4 がともに成立しているものとする（ a>0, b>0, c>0, a≠1, b≠1, c≠1 ）。 8/683 ( )⁴+( )⁴+( )⁴ の値を求めよ。選…
- 3自然数 n （ n は自然数）について， n³+(n+1)³+(n+2)³ を割り切ることができる整数 m （ 2≤ m≤9 ）のなかで最大なものを求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 …
- 4複素数 z は z+1/z=√2 を満たしている。 z¹⁰+ 1z¹⁰ の値を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 ，タ 3 ，ナ 4 ，ハ 5 ，マ 6 ，ヤ 7 ，ラ 8 ，ワ 9 …
- 52次方程式 25x²-35x+2k=0 の2つの解がそれぞれ sinθ, cosθ であるとする。 k の値を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 ，タ 3 ，ナ 4 ，ハ 5 ，マ 6…
- 63次方程式 x³+ax²+bx-8=0 が 1,2 を解にもつとき，もう1つの解を c とする。 |b+a-c| の値を求めよ。（ a,b は実数）選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 ，タ 3…
- 7方程式 x²+18x+30=2 x²+18x+45 （ x²+18x+45≥0 ）について，すべての実数解の和を p ，すべての実数解の積を q とする。 p+q の値を求めよ。選択肢：ア 0…
- 8a は自然数の定数とする。方程式 log2(x²+3x+0.25)=a+log2x が実数解をもつとき， a のとりうる値の最小値を m とする。 m の値を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 …
- 9△ ABC において，辺 AB,BC,CA の長さがそれぞれ b+1, ab+a, a となり， cos A=-1/a, cos C= ba² であるとする。 | a²+b²a²-b² | の…
- 10△ ABC について考える。 AB=AC, BC=16√2 ， A から BC に下ろした垂線の長さを 32 とする。この △ ABC の内接円の半径を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ …
- 11実数 x,y が 2|x-3|+3|y-2|≤6 を満たすとき， x²+y² の最大値を M ，最小値を m とする。 M-13m の値を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ 2 ，タ 3 …
- 12袋の中に2個の白玉と n 個（ n は自然数）の赤玉が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すものとする。白玉の数が1個だけの場合の確率を P(1) ，2個とも白玉である場合の確率を P…
- 13座標平面上の3つの定点，原点 O(0,0), A(0,1), B(4,3) と任意の点 P について考える。 PA· PB=4 OA· OB が成立しているとき，点 P の軌跡は異なる2つの点…
- 14座標平面において，点 P(1,0) を原点 O を中心として 2θ （ θ は正の角）だけ回転させた点を Q とし，点 R (3/2,0 ) を点 A (1/2,0 ) を中心として θ だけ…
- 15数列 an は， a1=1, an+1=2an-n²+25n+5 （ n は自然数）を満たしている。 Sn= =1ⁿak であるとき， Sn-2an を最小にする n を P とする。 |P-…
- 16曲線 C: y=x²-13 上に存在する異なる2つの点 P,Q について考える。線分 PQ と y 軸は，点 A(0,-8) で交わる。線分 PQ の中点の軌跡と x 軸で囲まれる図形の面積を…
- 17関数 f(x)=e^(ax)sin bx について考える（ a,b は実数）。（ b≠0 ） f^( )(x)-2f^( )(x)+2f(x)=0 がすべての x について成立するとき， a²…
- 18曲線 C: y=x³-6x² について考える。点 A(4,k) （ k は整数）から曲線 C に異なる3本の接線が引けるとき， k のとりうる値の個数を求めよ。選択肢：ア 0 ，カ 1 ，サ …
- 19曲線 C: y=x³ 上に存在する原点 O(0,0) ，点 A(1,1) ，点 P(t,t³) （ 0<t<1, t は実数）について考える。線分 OP と曲線 C ，線分 PA と曲線 C …
- 20曲線 C: y=x+2cos x （ 0≤ x≤2π ），直線 : y=k について考える。曲線 C ，直線 ， x=0, x=2π で囲まれた図形を直線 の周りに1回転させてできる立体の体積…
- 21–25曲線 C: y=x² について考える。曲線 C 上の点 P1(p,p²) （ p>0, p は実数）における接線と x 軸との交点を Q1 とし，点 Q1 を通って x 軸に垂直な直線と曲線 …