自治医科大学／前期
2017年度の数学自治医科大学・全24問
- 12つの整式 A=x³-2a²x+4a³ , B=x+2a を x についての整式とみて， A を B で割った余りを求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳…
- 2x=1/(√3+√2) , y=1/(√3-√2) であるとき， x³+y³x+y の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9
- 3方程式 log3(9x)-6 9=3 のすべての実数解の積の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9
- 4方程式 (log2x)²·log2(8x²)=α は，すべて異なる3つの実数解 β/γ, β, βγ (γ≠0) をもつものとする。 2α の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ …
- 6複素数 Z= (1+i)³(√3-i)²(√3-3i)² について考える。 Z²ⁿ が実数となるときの自然数 n の最小値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮…
- 7A=1/(1-α)+ 11-α²+ 11-α³+ 11-α⁴+ 11-α⁵+ 11-α⁶ とする。 α=cos2π/7+isin2π/7 であるとき， A の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ …
- 82つの方程式 A:x³+ax²+bx+c=0 と B:x²-bx+3=0 ( a,b,c は実数)について考える。方程式 A は， 1+i を1つの解にもつとする。 方程式 A と B がただ…
- 9方程式 x³+ax²+bx-8=0 ( a,b は実数とする)は， x=1, x=2 を解としてもつ。 |b/a | の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮…
- 10点 A(3,2) と円 C:x²+y²+4x-2y+1=0 上の点 Q について考える。 線分 AQ の中点を P とする。点 P の軌跡によって囲まれる領域の面積を S とする。 7S/π …
- 113つの直線 x-y+2=0, x+y-12=0, 7x-y-4=0 で囲まれた三角形に内接する円の面積を S とする。 4S/π の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4…
- 12原点 O(0,0,0) ，点 A(-3,2,1) ，点 B(2,-1,-1) ，点 C(1,1,0) によって作られる四面体 OABC の体積を V としたとき， 9V の値を求めよ。 選択肢…
- 13大きさがともに1である2つのベクトル a および b は， | a+2 b|=2 を満たす。 | a-2 b|=k としたとき， k² の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，…
- 14原点 O(0,0,0) を中心とする半径1の球面上に存在するすべて異なる3つの点 A,B,C について， 3→OA+4→OB-5→OC=→0 が成立する。△ ABC の面積を S としたとき，…
- 15自然数360は2つの自然数 a と b の積で表すことができる。 a,b が互いに素であるとすると， a,b の組 (a,b) はいくつあるか。 ただし，例えば， (a,b)=(1,360),…
- 16△ ABC の各頂点を移動する動点 P について考える。動点 P は，1個のさいころを投げたとき，5の目が出れば時計回りに，6の目が出れば反時計回りにそれぞれ隣の頂点に移り，1，2，3，4の目…
- 17→03sin4x/(x+sin x) の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9
- 18→0 2^x-1x=k としたとき， a<(2.7)^k<a+1 となる整数 a が存在する。 a の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ …
- 19曲線 C:y=3x⁴+4x³-102x²+180x+10 と直線 :y=k ( k は実数)について考える。曲線 C と直線 がすべて異なる4つの点で交わるとき， k のとりうる範囲は a<k…
- 20数列 an は， a1=1 ， n が2以上の自然数では， ∫0¹(an-1x-an)xⁿ dx=0 を満たす。 →∞2nan の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，…
- 21関数 f(x)= x-1x²+1 の最大値を M ，最小値を m とする。 |4Mm| の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9
- 222つの曲線 C1:y=x³-x²-12x-1 と C2:y=-x³+2x²+a について考える。曲線 C1 と C2 が共有点をもち，その点で共通の接線をもつとき， a/2 の値を求めよ。ただ…
- 232つの曲線 C1:ny=x² と C2:(n+1)x=y² ( n は自然数， x≥0, y≥0 ) について考える。曲線 C1 と C2 で囲まれた部分の面積を Sn とする。 →∞ 27S…
- 24円 C:x²+y²=4 と直線 :y=k ( k は正の実数) について考える。円 C と直線 は，異なる2つの点 P(p,k),S(s,k) で交わることとする ( s>p )。円 C と …
- 25動点 P の座標は， P(1-cosθ, θ-sinθ) として与えられる ( 0≤θ≤2π )。 動点 P の動いた長さを L とする。 L の値を求めよ。 選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，…