6自治医科大学 2017年 数学 第6問解答・解説

各因子を極形式で表すと，$\displaystyle 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$，$\displaystyle \sqrt{3}-i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$，$\displaystyle \sqrt{3}-3i=2\sqrt{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$ である。したがって，積と商の絶対値および偏角を計算すると，$$\displaystyle Z=\frac{(\sqrt{2})^3\cdot 2^2}{(2\sqrt{3})^2}\left\{\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)-2\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)+i\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)-2\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right\}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}\right).$$ド・モアブルの定理より，$$\displaystyle Z^{2n}=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{2n}\left(\cos\frac{13n\pi}{6}+i\sin\frac{13n\pi}{6}\right).$$絶対値は正なので，これが実数となる条件は $\displaystyle \sin\frac{13n\pi}{6}=0$，すなわち $\displaystyle \frac{13n}{6}$ が整数となることである。$13$ と $6$ は互いに素だから，これは $n$ が $6$ の倍数であることと同値である。自然数 $n$ は正の整数なので，最小値は $6$ である（選択肢 ㋮）。