12自治医科大学 2017年 数学 第12問解答・解説

四面体 $OABC$ の底面を $\triangle OAB$ とする。位置ベクトルの成分から $|\overrightarrow{OA}|^2=14,\quad |\overrightarrow{OB}|^2=6,\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-9$ である。なす角を $\theta$ とすると、底面の平行四辺形の面積の2乗は $|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2\sin^2\theta=|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2=14\cdot6-(-9)^2=3$ だから、$\triangle OAB$ の面積は $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}{2}$ である。

$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$ とおくと、$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ なので、$\boldsymbol{n}$ は平面 $OAB$ の法線ベクトルであり、その平面の方程式は $x+y+z=0$ である。したがって、点 $C(1,1,0)$ から平面 $OAB$ までの距離は $\displaystyle \dfrac{|\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{OC}|}{|\boldsymbol{n}|}=\dfrac{2}{\sqrt3}$ となる。これを高さとして四面体の体積を求めると $\displaystyle V=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac13$ ゆえに、$9V=3$ である。