8自治医科大学 2017年 数学 第8問解答・解説

方程式 $A$ は実係数であり，$1+i$ を解にもつので，その共役複素数 $1-i$ も解である。したがって，ある実数 $r$ を用いて $$A(x)=(x-(1+i))(x-(1-i))(x-r)=(x^2-2x+2)(x-r)$$ と書ける。展開して係数を比較すると，$$a=-(r+2),\qquad b=2r+2,\qquad c=-2r.$$方程式 $A$ と $B$ がただ1つの解を共有する。もし共有する解が非実数なら，実係数である両方の方程式はその共役も解にもつため，少なくとも2つの解を共有することになり，条件に反する。よって共有解は実数であり，$A$ の実数解は $r$ だけなので，$r$ は $B$ の解でもある。$b=2r+2$ を $r^2-br+3=0$ に代入すると，$$r^2-(2r+2)r+3=0\quad\text{すなわち}\quad (r+3)(r-1)=0.$$よって $r=1$ または $r=-3$ である。$r=1$ のとき $(a,b,c)=(-3,4,-2)$，また $B(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ だから，共有解は $1$ だけである。$r=-3$ のとき $(a,b,c)=(1,-4,6)$，また $B(x)=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ だから，共有解は $-3$ だけである。どちらの場合も $\displaystyle \frac{|abc|}{4}=\frac{24}{4}=6$ となる。