自治医科大学 2017年数学第16問解答・解説

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1問題

自治医科大学2017年度第16問

△ $ABC$ の各頂点を移動する動点 $P$ について考える。動点 $P$ は，1個のさいころを投げたとき，5の目が出れば時計回りに，6の目が出れば反時計回りにそれぞれ隣の頂点に移り，1，2，3，4の目が出れば移動しないものとする。さいころを $n$ 回 ( $n$ は0以上の整数) 投げたあと，動点 $P$ が頂点 $A$ 上にある確率を $p_{n}$ とする。

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}6p_{n}$ の値を求めよ。ただし，動点 $P$ は，最初には，頂点 $A$ 上に存在するものとする。

選択肢：㋐ 0，㋕ 1，㋚ 2，㋟ 3，㋤ 4，㋩ 5，㋮ 6，㋳ 7，㋶ 8，㋻ 9

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

BとCの対称性で確率を一変数にまとめ、1回後の確率の漸化式を解いて極限を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}6p_n=2\quad$ （㋚）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

頂点 $B,C$ にいる確率をそれぞれ $q_n,r_n$ とする。時計回りと反時計回りの動きは同じ確率で起こり、初めは $A$ にいるため、 $B,C$ を入れ替える対称性から $\displaystyle q_n=r_n=\dfrac{1-p_n}{2}$ である。1回投げた後に $A$ にいるのは、 $A$ にいて移動しない場合、または $B,C$ のいずれかから $A$ へ移る場合である。したがって $\displaystyle p_{n+1}=\dfrac46p_n+\dfrac16q_n+\dfrac16r_n=\dfrac23p_n+\dfrac13q_n=\dfrac12p_n+\dfrac16$ を得る。この式を $\displaystyle \dfrac13$ からの差で表せば $\displaystyle p_{n+1}-\dfrac13=\dfrac12\left(p_n-\dfrac13\right)$ となる。 $p_0=1$ より $\displaystyle p_n=\dfrac13+\dfrac23\left(\dfrac12\right)^n$ であり、 $\displaystyle \left(\dfrac12\right)^n\to0$ だから $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}6p_n=6\cdot\dfrac13=2$ である。

この問題で使う考え方

確率の基本法則
独立な試行
漸化式
数列の極限

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