11自治医科大学 2017年 数学 第11問解答・解説

3直線の交点を求める。$x-y+2=0$ は $y=x+2$、$x+y-12=0$ は $y=12-x$、$7x-y-4=0$ は $y=7x-4$ と書ける。したがって各2直線の交点は $$(5,7),\qquad(1,3),\qquad(2,10)$$ である。実際、これらはそれぞれ与えられた2直線の連立方程式を満たす。 点 $A=(5,7)$、$B=(1,3)$、$C=(2,10)$ とすると、座標間の距離より $$AB=4\sqrt2,\qquad AC=3\sqrt2,\qquad BC=5\sqrt2.$$ また、$$\overrightarrow{AB}=(-4,-4),\qquad \overrightarrow{AC}=(-3,3)$$ であり、辺 $AB$ と $AC$ は垂直である。よって三角形の面積と周の長さは $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot3\sqrt2=12,\qquad AB+BC+CA=12\sqrt2$$ となる。 内接円の半径を $r$ とする。内心から各辺に下ろした垂線の長さはすべて $r$ なので、三角形を内接円の中心から各辺へ結んだ3つの三角形に分けると、その面積の和は $$\displaystyle 12=\frac12r(AB+BC+CA)=\frac12r\cdot12\sqrt2.$$ したがって $r=\sqrt2$。よって内接円の面積 $S=\pi r^2=2\pi$ であり、$$\displaystyle \frac{4S}{\pi}=8.$$ したがって答えは $8$（選択肢㋶）である。