22自治医科大学 2017年 数学 第22問解答・解説

曲線 $C_1:y=f(x)$、$C_2:y=g(x)$ が $x=t$ で共通の接線をもつとする。共通接線の傾きは等しいから、まず導関数を等置する。 $$f'(x)=3x^2-2x-12,\qquad g'(x)=-3x^2+4x,$$ したがって $$3t^2-2t-12=-3t^2+4t\text{すなわち} 6t^2-6t-12=0\text{すなわち} (t-2)(t+1)=0.$$ よって $t=2$ または $t=-1$ である。共通点では $f(t)=g(t)$ なので、 $$t^3-t^2-12t-1=-t^3+2t^2+a\text{すなわち} a=2t^3-3t^2-12t-1.$$ $t=2$ のとき $a=16-12-24-1=-21$ となり、自然数でない。$t=-1$ のとき $a=-2-3+12-1=6$ である。

実際、$a=6,\ t=-1$ ならば $f(-1)=g(-1)=9$、また $f'(-1)=g'(-1)=-7$ であり、共通点で共通の接線をもつ。したがって条件を満たすのは $a=6$ であり、求める値は $$\displaystyle \frac{a}{2}=3$$ である。