7自治医科大学 2017年 数学 第7問解答・解説

$\displaystyle \alpha=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$ より，ド・モアブルの定理を用いると $\alpha^7=1$ である。また，$k=1,2,\ldots,6$ に対して $\alpha^k\ne1$ である。実際，$\displaystyle \alpha^k=\cos\frac{2k\pi}{7}+i\sin\frac{2k\pi}{7}$ の偏角 $\displaystyle \frac{2k\pi}{7}$ は $2\pi$ の整数倍ではない。$k=1,2,3$ とし，$z=\alpha^k$ とおくと，$\alpha^{7-k}=\alpha^{-k}=z^{-1}$ である。$z\ne1$ だから，$$\displaystyle \frac{1}{1-z}+\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{1}{1-z}+\frac{z}{z-1}=\frac{1-z}{1-z}=1.$$したがって，$$\displaystyle A=\left(\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\alpha^6}\right)+\left(\frac{1}{1-\alpha^2}+\frac{1}{1-\alpha^5}\right)+\left(\frac{1}{1-\alpha^3}+\frac{1}{1-\alpha^4}\right)=1+1+1=3.$$よって，$A=3$（選択肢 ㋟）。