20自治医科大学 2017年 数学 第20問解答・解説

$n\ge2$ について積分を分け、べき関数の定積分を計算すると $$\displaystyle 0=\int_0^1(a_{n-1}x-a_n)x^n\,dx =a_{n-1}\int_0^1x^{n+1}\,dx-a_n\int_0^1x^n\,dx =\frac{a_{n-1}}{n+2}-\frac{a_n}{n+1}.$$ よって $$\displaystyle a_n=\frac{n+1}{n+2}a_{n-1}.$$ これを $a_1=1$ から順に用いると、$n\ge2$ で $$\displaystyle a_n=\prod\limits _{j=2}^{n}\frac{j+1}{j+2} =\frac{3}{n+2}.$$ この式は $n=1$ でも $a_1=1$ と一致する。したがって $$\displaystyle 2na_n=\frac{6n}{n+2} =6-\frac{12}{n+2}\longrightarrow6 \qquad(n\to\infty).$$ 求める値は $6$（選択肢㋮）である。