23自治医科大学 2017年 数学 第23問解答・解説

$n$ は自然数なので $n\ge1$ とする。第1曲線を $\displaystyle y_1=\frac{x^2}{n}$、第2曲線を $y_2=\sqrt{(n+1)x}$ と表す。交点では $$\displaystyle \frac{x^2}{n}=\sqrt{(n+1)x}$$ であり、両辺は非負なので、これを2乗して整理すると $$\displaystyle \frac{x^4}{n^2}=(n+1)x\text{すなわち} x\left(x^3-n^2(n+1)\right)=0$$ となる。したがって交点の $x$ 座標は $0$ と $\alpha=\sqrt[3]{n^2(n+1)}$ である。

$0<x<\alpha$ では $x^3<n^2(n+1)$ だから、 $$\displaystyle y_2^2-y_1^2=x\left((n+1)-\frac{x^3}{n^2}\right)>0.$$ $y_1,y_2$ はともに非負であるため $y_2>y_1$ となり、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S_n=\int_0^\alpha\left(\sqrt{(n+1)x}-\frac{x^2}{n}\right)\,dx.$$ ここで $\alpha^3=n^2(n+1)$、$\alpha^{3/2}=n\sqrt{n+1}$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\frac{2}{3}\sqrt{n+1}\,\alpha^{3/2}-\frac{\alpha^3}{3n}\\ &=\frac{2}{3}n(n+1)-\frac{1}{3}n(n+1)=\frac{n(n+1)}{3}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{27S_n}{n^2}=\lim\limits _{n\to\infty}9\left(1+\frac{1}{n}\right)=9.$$