4自治医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

対数の定義域から $x>0$ である。$t=\log_{2}x$ とおくと，対数の性質より $$\log_{2}(8x^{2})=3+2t$$ なので，方程式は $$2t^{3}+3t^{2}-\alpha=0$$ となる。$x=2^{t}$ は実数 $t$ 全体から正の実数全体への一対一対応であるから，この三次方程式の3解が，元の方程式の3解の対数に対応する。

元の3解はすべて正であり，その一つが $\beta$，また $\beta\gamma$ でもあるので $\beta>0,\ \gamma>0$ である。$u=\log_{2}\beta,\ v=\log_{2}\gamma$ とおくと，三つの $t$ の解は $$u-v,\quad u,\quad u+v$$ であり，互いに異なるから $v\ne0$ である。

三次方程式を2で割った $$\displaystyle t^{3}+\frac32t^{2}+0t-\frac{\alpha}{2}=0$$ に解と係数の関係を用いる。解の和より $\displaystyle 3u=-\frac32$，したがって $\displaystyle u=-\frac12$ である。また，解の2個ずつの積の和は $$(u-v)u+u(u+v)+(u-v)(u+v)=3u^{2}-v^{2}$$ であり，これは $t$ の係数が0であることから0に等しい。よって $$\displaystyle v^{2}=3u^{2}=\frac34.$$ 解の積は $$\displaystyle (u-v)u(u+v)=u(u^{2}-v^{2}) =-\frac12\left(\frac14-\frac34\right)=\frac14.$$ 一方，解の積は $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ なので $\displaystyle \alpha=\frac12$，従って $$2\alpha=1.$$

検算として， $$\displaystyle 2t^{3}+3t^{2}-\frac12 =2\left(t+\frac12\right)\left(t^{2}+t-\frac12\right)$$ と因数分解できる。三つの解は $$\displaystyle -\frac12,\quad \frac{-1+\sqrt3}{2},\quad \frac{-1-\sqrt3}{2}$$ で，互いに異なる実数である。したがって $x=2^{t}$ に戻すと条件を満たす正の異なる三解となり，$2\alpha=1$ は選択肢㋕に対応する。