18自治医科大学 2017年 数学 第18問解答・解説

関数 $2^x$ の $x=0$ における微分係数より $$\displaystyle k=\lim\limits _{x\to0}\frac{2^x-1}{x} =\left.\frac{d}{dx}2^x\right|_{x=0} =2^0\ln2=\ln2.$$ ここで $e=2.71828\ldots$ だから $2<2.7<e$ である。自然対数は増加するので $$0<\ln2<\ln2.7<\ln e=1.$$ したがって $0<(\ln2)(\ln2.7)<\ln2$ となる。対数の性質を用いると $$(2.7)^k=e^{(\ln2)(\ln2.7)}$$ であり、指数関数 $e^x$ も増加するから $$1=e^0<(2.7)^k<e^{\ln2}=2.$$ ゆえに $a=1$（選択肢㋕）である。