4群馬大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(t)=\dfrac{\log t}{t}$ とおくと、$t\ge e$ では $$\displaystyle f'(t)=\frac{1-\log t}{t^2}\le0,$$ 等号は $t=e$ のときだけである。したがって $f$ は $t\ge e$ の範囲で減少する。$e\le x<y$ より $$\displaystyle \frac{\log x}{x}>\frac{\log y}{y}.$$ $x,y>0$ を掛ければ $y\log x>x\log y$ を得る。

(2) $A=3^{2\sqrt2\pi}$、$B=\pi^{6\sqrt2}$、$\displaystyle C=2^{\frac92\pi}$ とおく。$e<3<\pi$ だから (1) を $x=3,y=\pi$ に適用すると $$\pi\log3>3\log\pi.$$ 両辺に $2\sqrt2$ を掛けて指数関数を用いれば $A>B$。

次に $\sqrt2<17/12$（$2<289/144$）かつ $$3^{17}=129140163<134217728=2^{27}$$ より $$3^{4\sqrt2}<3^{17/3}<2^9.$$ 両辺を正の指数 $\pi/2$ 乗して $A<C$ を得る。従って大小関係は $$\displaystyle \pi^{6\sqrt2}<3^{2\sqrt2\pi}<2^{\frac92\pi}.$$