5群馬大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) 直線 x=a で切ると、(ye^a)^2≦(sin2a)^2 から −e^(−a)|sin2a|≦y≦e^(−a)|sin2a| となる。よって l(a)=2e^(−a)|sin2a| (0≦a≦π)。前半 0<a<π/2 では h(a)=e^(−a)sin2a とおくと h'(a)=e^(−a)(2cos2a−sin2a)。2a≧π/2 ならこの導関数は負、0<2a<π/2 では tan2a=2 が唯一の零点で導関数は正から負へ変わる。したがって前半の最大は a0=(1/2)arctan2。後半では l(a+π/2)=e^(−π/2)l(a)<l(a) なので、全体の最大点も a0 である。t=tan a0 とすると 0<t<1 であり、倍角公式から 2=2t/(1−t²)、すなわち t²+t−1=0。正の解をとり、tan a0=(√5−1)/2。

(2) 領域の面積は縦断面長の積分なので A=2∫_0^π e^(−x)|sin2x|dx。前半 I1=∫_0^(π/2)e^(−x)sin2x dx とする。I=∫e^(−x)sin2x dx、J=∫e^(−x)cos2x dx とおき、部分積分をすると I=−(1/2)e^(−x)cos2x−J/2、J=(1/2)e^(−x)sin2x+I/2。これを合わせると I の原始関数 F(x)=e^(−x)(−sin2x−2cos2x)/5 を得る。したがって I1=F(π/2)−F(0)=2(1+e^(−π/2))/5。後半 I2=∫_(π/2)^π e^(−x)(−sin2x)dx は x=u+π/2 と置くと e^(−π/2)I1。よって A=2(I1+I2)=4/5(1+e^(−π/2))²。