3三重大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=e^{k\sin x}\cos x$ を微分すると $$f'(x)=e^{k\sin x}(k\cos^2x-\sin x) =e^{k\sin x}\{k(1-\sin^2x)-\sin x\}.$$ よって $g(t)=k(1-t^2)-t$。方程式 $g(t)=0$ の解は $$\displaystyle t_{\pm}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4k^2}}{2k}.$$ $k>0$ なので $t_-<-1$。また $\sqrt{1+4k^2}<1+2k$ より $0<t_+<1$。従って $-1\le t\le1$ の範囲内の解は $$\displaystyle t=\frac{\sqrt{1+4k^2}-1}{2k}$$ のみ。

(2) $t=\sin x$ とおくと $-1\le t\le1$ で、$f(x)^2=h(t)=e^{2kt}(1-t^2)$。その導関数は $$h'(t)=2e^{2kt}\{k(1-t^2)-t\}=2e^{2kt}g(t).$$ $g$ は唯一の根 $t_+$ より前で正、後で負なので $h$ は $t=t_+$ で最大。$g(t_+)=0$ から $1-t_+^2=t_+/k$、また $2kt_+=\sqrt{1+4k^2}-1$。従って $$\displaystyle \max f(x)^2=h(t_+) =\frac{\sqrt{1+4k^2}-1}{2k^2} e^{\sqrt{1+4k^2}-1}.$$

(3) 区間内では $\cos x\ge0$ なので $f(x)\ge0$。端点で $f=0$ だから面積は $$\displaystyle S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{k\sin x}\cos x\,dx.$$ $u=\sin x$ と置換すると $du=\cos x\,dx$、積分範囲は $-1\le u\le1$ となり $$\displaystyle S=\int_{-1}^{1}e^{ku}\,du=\frac{e^k-e^{-k}}{k}.$$

f′をt=sin xで表して二次方程式の区間内の根を特定する。f²をtの関数として単峰性から最大値を求め、面積はu=sin xの置換積分で計算する。