3広島大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=1/(1+e^{-x})$ より $x\to\infty$ で $f(x)\to1$。元の形で $x\to-\infty$ とすれば $e^x\to0$ より $f(x)\to0$。求める値は順に $\boxed{1,\ 0}$。

(2) 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}>0,\qquad f''(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}.$$ 従って全実数で単調増加し，$x<0$ で $f''>0$（下に凸），$x>0$ で $f''<0$（上に凸）。符号が変わる $x=0$ における $\boxed{(0,1/2)}$ が変曲点である。 グラフは $0<f(x)<1$ にあり，左で $y=0$，右で $y=1$ に漸近する。さらに $f(-x)=1-f(x)$ より $(0,1/2)$ に関して点対称である。概形は図の通り。

(3) $\alpha=1$ であり，$0<f(x)<1$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\int_0^t(1-f(x))\,dx =[x-\log(1+e^x)]_0^t\\ &=t-\log(1+e^t)+\log2 =\boxed{\log\frac{2}{1+e^{-t}}}. \end{aligned}$$ (4) $e^{-t}\to0$ より $\displaystyle \boxed{\lim\limits _{t\to\infty}S(t)=\log2}$。