5広島大学 2012年 数学 第5問解答・解説

数学確認 1回の角度変化は、1または2なら $+120^\circ$、3〜6なら $-60^\circ$。$n$ 回中に1または2が出た回数を $k$ とすると、合計回転角は $60^\circ(3k-n)$。

(1) $(4,1,2)$ は $n=3,k=2$ なので合計 $180^\circ$。点 $(1,2)$ の反対点 $(-1,-2)$ に移る。

(2) $n=3$ で元の点に戻る条件は $3k-3\equiv0\pmod6$、すなわち $k$ が奇数。従って確率は $$\displaystyle 3\cdot\frac13\left(\frac23\right)^2+\left(\frac13\right)^3=\frac{13}{27}.$$

(3) $n=6$ で反対点に移る条件は $3k-6\equiv3\pmod6$、すなわち $k$ が奇数。従って確率は $$\displaystyle \binom61\frac13\left(\frac23\right)^5+\binom63\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^3+\binom65\left(\frac13\right)^5\frac23=\frac{364}{729}.$$

(4) $n=3m$ で元に戻る条件は $3k-3m\equiv0\pmod6$、すなわち $k$ と $m$ の偶奇一致。$k\sim\mathrm{Binomial}(3m,1/3)$ であり、二項定理から偶奇確率差は $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{3m}(-1)^k\binom{3m}{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{3m-k} =\left(\frac23-\frac13\right)^{3m}=\frac1{27^m}.$$ ゆえに一致する偶奇の確率は $$\displaystyle \frac12\left(1+\frac{(-1)^m}{27^m}\right),$$ 旧答 A089 と一致する。