2広島大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) すべての自然数$n$について$x_n=a$ならば、特に$x_2=f(a)=a$である。したがって $$0=f(a)-a=a^3-3a^2+2a=a(a-1)(a-2)$$ より$a=0,1,2$である。逆にこのいずれの場合も$f(a)=a$だから、漸化式から$x_n=a$はすべての自然数$n$で成り立つ。

(2) まず $$f(x)=x^3-3x^2+3x=1+(x-1)^3$$ である。$x_1=a<1$である。ある自然数$n$について$x_n<1$と仮定すると、$x_n-1<0$なので $$x_{n+1}=f(x_n)=1+(x_n-1)^3<1.$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数$n$について$x_n<1$である。

(3) 数学的帰納法で$0<x_n<1$がすべての自然数$n$について成り立つことを示す。初項は仮定より$0<x_1=a<1$である。$0<x_n<1$とすると$0<1-x_n<1$であるから、 $$x_{n+1}=1-(1-x_n)^3$$ より$0<x_{n+1}<1$となる。したがって、すべての自然数$n$について$0<x_n<1$である。さらに $$x_{n+1}-x_n=f(x_n)-x_n=x_n(x_n-1)(x_n-2).$$ ここで$0<x_n<1$より $x_n>0,\quad x_n-1<0,\quad x_n-2<0$なので$x_n(x_n-1)(x_n-2)>0$である。ゆえに$x_n<x_{n+1}$がすべての自然数$n$について成り立つ。