2三重大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(1)=0$ であり、因数分解すると $$x^3-5x^2+6x-2=(x-1)(x^2-4x+2)=(x-1)((x-2)^2-2).$$ 3つの解は $2-\sqrt2,1,2+\sqrt2$ だから、最小解と最大解は $$\alpha=2-\sqrt2,\qquad \beta=2+\sqrt2.$$

(2) $a=\alpha/2,\ b=\beta/2$ とおく。二次式の解と係数の関係から $$\displaystyle a+b=2,\qquad ab=\frac12,$$ よって $\displaystyle a^2=2a-\frac12$、$\displaystyle b^2=2b-\frac12$ である。示すべき式は $$\displaystyle p_n=a^{n-1}-b^{n-1},\qquad q_n=-\frac12a^{n-2}+\frac12b^{n-2}.$$ $n=1$ では第1式は $p_1=0$ であり、第2式の右辺は $$\displaystyle -\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{a-b}{2ab}=a-b=\frac{\alpha-\beta}{2}=q_1.$$ 両式が $n$ で成り立つと仮定すると、漸化式より $$\displaystyle \begin{aligned} p_{n+1}&=2p_n+q_n=(2a-\tfrac12)a^{n-2}-(2b-\tfrac12)b^{n-2}=a^n-b^n,\\ q_{n+1}&=-\tfrac12p_n=-\tfrac12a^{n-1}+\tfrac12b^{n-1}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle a^2=2a-\frac12$、$\displaystyle b^2=2b-\frac12$ を用いた。よって数学的帰納法により両式はすべての $n\ge1$ で成り立つ。

(3) $r_0=1$ と補助的に定めると、$r_1=a+b=2$ である。有限和を展開して、$n\ge2$ について $$(a+b)r_{n-1}=r_n+ab\,r_{n-2}$$ を得る。したがって $$\displaystyle r_n=2r_{n-1}-\frac12r_{n-2}.$$ 初期値 $r_0=1,r_1=2$ と漸化式の係数はすべて有理数なので、帰納法によりすべての $n\ge1$ について $r_n\text{ は有理数}$ である。