4北海道大学 2005年 数学 第4問解答・解説

まず漸化式から $$\displaystyle a_2=\frac{1+i}{2(1+i)-3}=\frac{1+i}{-1+2i}=\frac{(1+i)(-1-2i)}{5}=\frac{1-3i}{5}$$ を得る。原点を通る円の方程式を $x^2+y^2+ux+vy=0$ とおく。点 $a_1=1+i$ を代入すると $2+u+v=0$、点 $\displaystyle a_2=\frac15-\frac35i$ を代入すると $\displaystyle \frac25+\frac{u}{5}-\frac{3v}{5}=0$、すなわち $2+u-3v=0$ となる。よって $u=-2,\ v=0$ であり、求める円は $x^2+y^2-2x=0$ である。

次に $|a_1-1|=|i|=1$ である。ある $n$ で $|a_n-1|=1$ と仮定し、$a_n=x_n+y_ni$ とおく。このとき $x_n^2+y_n^2=2x_n$ である。また $2a_n-3\neq0$：もし $2a_n-3=0$ なら $\displaystyle a_n=\frac32$ となるが、$\displaystyle |a_n-1|=\frac12$ となり仮定に反する。したがって $$\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{3-a_n}{2a_n-3}.$$ ここで $$|3-a_n|^2=(3-x_n)^2+y_n^2=9-4x_n,$$ $$|2a_n-3|^2=(2x_n-3)^2+4y_n^2=4(x_n^2+y_n^2)-12x_n+9=9-4x_n.$$ ゆえに $|a_{n+1}-1|=1$。数学的帰納法により、すべての $n\geq1$ で $|a_n-1|=1$ となる。これは $x^2+y^2-2x=0$ を表す円の条件なので、すべての $a_n$ は (1) の円上にある。