2北海道大学 2005年 数学 第2問解答・解説

行列の成分を $A=\cos x+\cos y$、$B=\sin x-\sin y$ と置くと、漸化式は $$a_{n+1}=Aa_n+Bb_n,\qquad b_{n+1}=-Ba_n+Ab_n$$ となる。よって $$\begin{aligned} c_{n+1}&=(Aa_n+Bb_n)^2+(-Ba_n+Ab_n)^2\\ &=(A^2+B^2)(a_n^2+b_n^2). \end{aligned}$$ ここで加法定理より $$\displaystyle \begin{aligned} A^2+B^2 &=(\cos x+\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2\\ &=2+2(\cos x\cos y-\sin x\sin y)\\ &=2+2\cos(x+y)=4\cos^2\frac{x+y}{2}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle q=4\cos^2\frac{x+y}{2}$ と置けば、$c_1=1$、$c_{n+1}=qc_n$ なので、$n\ge2$ について $c_n=q^{n-1}$ である。

$\displaystyle t=\frac{x+y}{2}$ とすると、与えられた範囲から $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le t\le\frac{\pi}{2}$ であり、$\cos t\ge0$。よって $q\ge0$ で、$c_n$ が0に収束する条件は $q<1$ である。$\cos t\ge0$ と $-\pi/2\le t\le\pi/2$ を用いると、$q<1$ は $\cos t<1/2$、すなわち $|t|>\pi/3$ と同値である。$t=(x+y)/2$ だから、求める条件は $$\displaystyle |x+y|>\frac{2\pi}{3}.$$

したがって図では、$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$、$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$ で表される正方形の内部と境界で、直線 $\displaystyle x+y=\frac{2\pi}{3}$ より右上側と、直線 $\displaystyle x+y=-\frac{2\pi}{3}$ より左下側を塗る。斜めの境界線は含まず、正方形の外枠のうち条件を満たす部分は含む。