1北海道大学 2005年 数学 第1問解答・解説

・ $x=e^a>0$ とおくと、方程式は $x^2-2x-1=0$ となる。これを解くと $x=1\pm\sqrt{2}$ だが、$x>0$ より $x=1+\sqrt{2}$。したがって $a=\ln(1+\sqrt{2})$。

・ $u=e^x$ とおくと $du=e^x\,dx$ であり、積分区間は $x=0,t$ に対してそれぞれ $u=1,e^t$ となる。よって $$\displaystyle F(t)=\int_1^{e^t}\frac{1}{u+e^{2t}}\,du =\left[\ln(u+e^{2t})\right]_1^{e^t} =\ln\frac{e^t(1+e^t)}{1+e^{2t}}.$$

・ $y=e^t$ とおくと $y\ge1$ であり、$F(t)=\ln g(y)$、ただし $\displaystyle g(y)=\dfrac{y(1+y)}{1+y^2}>0$ である。$\ln y$ は増加関数なので、$g(y)$ を最大にすればよい。 $$\displaystyle g'(y)=\frac{(1+2y)(1+y^2)-2y(y+y^2)}{(1+y^2)^2} =\frac{1+2y-y^2}{(1+y^2)^2}.$$ 分母は正であり、分子は $y=1+\sqrt{2}$ で正から負に変わる。したがって $g$ は $1\le y\le1+\sqrt{2}$ で増加し、その後減少するので、最大値を与えるのは $y=1+\sqrt{2}$ である。このとき $$\displaystyle g(1+\sqrt{2})=\frac{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{4+2\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$ よって $t=\ln(1+\sqrt{2})$ のとき $F(t)$ は最大となり、その最大値は $\displaystyle \ln\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ である。