2京都大学 2004年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{まず }\alpha>0\text{ より }e^{1/\alpha}>1\text{ である。}\quad \frac{e}{x^\alpha}-1>0\text{、すなわち } x<e^{1/\alpha},\qquad \log x>0\text{、すなわち } x>1. \text{したがって }f(x)>0\text{ となるのは }1<x<e^{1/\alpha}\text{ である。}\text{ 面積を }S\text{ とすると、} \begin{aligned}S&=\int_1^{e^{1/\alpha}}\left(\frac{e}{x^\alpha}-1\right)\frac{\log x}{x}\,dx\quad(t=\log x)\\&=\int_0^{1/\alpha}t\left(e^{1-\alpha t}-1\right)\,dt\quad(s=\alpha t)\\&=\frac1{\alpha^2}\int_0^1s\left(e^{1-s}-1\right)\,ds. \end{aligned}\text{ここで部分積分により }\int_0^1se^{1-s}\,ds=e\left[-(s+1)e^{-s}\right]_0^1=e-2,\quad \int_0^1s\,ds=\frac12. \therefore\quad S=\frac{(e-2)-\frac12}{\alpha^2}=\boxed{\frac{e-\frac52}{\alpha^2}}.$$