京都大学 2004年数学第3問解答・解説

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1問題

京都大学2004年度第3問配点 35点

n を 2 以上の自然数とする。x^(2n) を x² − x + (n−1)/n² で割った余りを a_n x + b_n とする。すなわち，x の多項式 P_n(x) があって x^(2n) = P_n(x)(x² − x + (n−1)/n²) + a_n x + b_n が成り立っているとする。lim(n→∞) a_n，lim(n→∞) b_n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合除式は $n\ge3$ で $(x-1/n)(x-(n-1)/n)$ と因数分解できる。余りが二つの根で $x^{2n}$ と一致する条件から係数を求める方法と極限が採用解答に一致する。 $n=2$ は重根の例外だが有限初項なので極限に影響しない。判定は PASS。

分類単元は式と証明、数列の極限。方法は除式の因数分解、剰余定理、基本数列極限。テーマは多項式余り係数の漸近挙動。

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