1岡山大学 2005年 数学 第1問解答・解説

(1) $x\ne a$ に注意して $$\displaystyle y=-a+\frac{a^2-1}{a-x}$$ と変形する。$0\le x<a$ と $x>a$ に分け、端点 $x=0$、垂直漸近線 $x=a$、水平漸近線 $y=-a$ を調べると、値域は $$\begin{cases}y<-a\text{ または }y\geq-1/a&a>1,\\ y\leq-1/a\text{ または }y>-a&0<a<1,\\ y=-1&a=1. \end{cases}$$ (2) 差の二乗を用いると $$3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge0.$$ 等号は $x=y=z$ のときに限る。したがって $x^2+y^2+z^2\le a$ なら $x+y+z\le\sqrt{3a}$。$a>0$ のもとで $\sqrt{3a}\le a$ は $a\ge3$ と同値である。また $x=y=z=\sqrt{a/3}$ を代入するとこの条件は必要である。よって求める最小値は $\boxed3$。