2岡山大学 2005年 数学 第2問解答・解説

$a,b>0$より，漸化式の分母は正であり，帰納的にすべての$n$で$a_n,b_n>0$である。したがって$a_n$で約分でき， $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+2b_n}{a_n+5b_n},\qquad b_{n+1}=\frac{3b_n}{a_n+5b_n}.$$

(1) より $$\displaystyle c_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{a_n+2b_n}{3b_n}=\frac{c_n+2}{3},\qquad c_1=\frac ab.$$ よって$\displaystyle c_{n+1}-1=\dfrac{c_n-1}{3}$だから， $$\displaystyle c_n-1=\frac{c_1-1}{3^{n-1}}=\frac{\frac ab-1}{3^{n-1}},\qquad c_n=1+\frac{\frac ab-1}{3^{n-1}}.$$

(2) また，同じ式から $$\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{a_n+2b_n+3b_n}{a_n+5b_n}=1$$ となるので，$n\ge2$では$a_n+b_n=1$である。このとき$c_n=a_n/b_n$より $$\displaystyle a_n=\frac{c_n}{1+c_n},\qquad b_n=\frac{1}{1+c_n}.$$ (1)の一般項から$c_n\to1$であるから， $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac12,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac12.$$

初項a,bが正で、漸化式の分子・分母も正だからすべての項は正。比$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{b_n}$を取ると$\displaystyle c_{n+1}=\frac{c_n+2}{3}$となり、1との差は公比$\displaystyle \frac13$の等比数列である。また、$n\ge2$では$a_n+b_n=1$。比の極限$c_n\to1$と和の条件から$a_n,b_n$はいずれも$\displaystyle \frac12$へ収束する。